Une matrice de passage (ou encore matrice de changement de base) permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des endomorphismes, des formes bilinéaires.

Définition

Soient K un corps, E un K-Espace vectoriel.

Soient deux bases

B =

(

e 1

. s

e n

)

et

B ' =

(

e ' 1

. s

e ' n

)

de E. Pour des raisons mnémotechniques on qualifie B ' de nouvelle base, B d'ancienne base.

On définit ainsi la matrice de passage de B à B ', notée P _B ^{B   '} :

P _B ^{B   '} = (a _i,j ) _{i , j = 1} ⁿ ∈ M _n (K) telle que

∀ j ∈ !], e ' j =

n Σ i = 1

a i,j e i

Les colonnes de cette matrice ne sont autres que les vecteurs de la nouvelle base, exprimés dans l'ancienne base.

On peut aussi interpréter la matrice de passage comme la matrice représentative de l'application identité, de E muni de la base B ' dans E muni de la base B. On a P _{B   '} ^B = M _B 'B (Id _E ) où M _B 'B (Id _E ) est la matrice de Id _E relativement à B ' et B.

Théorème

Énoncé

Soit un vecteur x ∈ E, ayant respectivement pour composantes

X =	┌    x 1    ┐ │    ⋮    │ └    x n    ┘

et

X ' =

┌    x ' 1    ┐ │    ⋮    │ └    x ' n    ┘

dans deux bases B et B '.

Alors X = P _B ^{B   '} X '

Démonstration

La décomposition du vecteur dans les deux bases nous donne

x =

n Σ j = 1

x j e j =

n Σ j = 1

x ' j e ' j

De plus,

∀ j ∈ !], e ' j =

n Σ i = 1

a i,j e i

Par substitution,

x =

n Σ j = 1

x ' j

n Σ i = 1

a i,j e i

x =

n Σ i = 1

(

n Σ j = 1

a i,j x ' j

)

e i

La décomposition du vecteur étant unique dans chaque base, on peut procéder à l'identification des coefficients:

∀ i ∈ !], x i =

n Σ j = 1

a i,j x ' j =(P B B   ' • X ') i

, d'où X = P _B ^{B   '} X '

Inversibilité

Soient B et B ' deux bases de E Alors P _B ^{B   '} est inversible et (P _B ^{B   '}) ^-1 = P _{B   '} ^B

Démonstration

P _B ^{B   '} P _{B   '} ^B = M _B ',B (Id _E )M _{B , B   '} (Id _E ) = M _B,B (Id _E ) = I _n

Voir aussi

Matrice mathématique
par forme
carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
transformée	en relation
transposée • adjointe inverse • Comatrice	équivalente • semblable congruente
par propriété
inversible • diagonalisable • trigonalisable symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
par famille	associée
identité de De Casteljau de Cartan de Hilbert de Mueller de Pauli • de Dirac	de permutation • de passage compagnon • de Sylvester d'adjacence • laplacienne hessienne • jacobienne génératrice • de contrôle de corrélation • de Gram de variance-covariance d'inertie • de Jones des gains • stochastique
particulière
CKM
résultats
décompositions : LU • QR • polaire valeurs singulières	Trigonalisation Réduction de Jordan facteurs invariants
Voir aussi
théorie des matrices • Algèbre linéaire

• Matrice
• Base