En Théorie des nombres, la fonction de Mertens est

M (n) =

Σ 1 ≤ k ≤ n

μ(k)

où μ(k) est la Fonction de Möbius.

La fonction de Möbius retourne seulement les valeurs -1, 0 et +1, il est évident que la fonction de Mertens croît lentement et qu'il n'existe pas de x tel que M(x) > x. La conjecture de Mertens (1897) va même plus loin, énonçant qu'il n'existe pas de x où la valeur absolue de la fonction de Mertens excède la Racine carrée de x. Odlyzko et Te Riele ont montré (1985) que cette conjecture était fausse. Néanmoins, l'hypothèse de Riemann est équivalente à une conjecture plus faible sur la croissance de M(x), explicitement

M (x) = o

(

x

1 2 – – – +

ε

)

. Puisque les valeurs élevées de M croissent au moins aussi rapidement que la racine carrée de x, ceci place une limite plutôt serrée sur le taux de croissance. Ici, o fait référence à la notation de Landau. On ne connaît pas aujourd'hui de contre-exemple explicite à cette conjecture, mais on sait qu'il en existe au moins un entre 10 ¹² et 3,211 10 ⁶⁴ (Pintz, 1987).

La fonction Möbius est implémentée dans Mathematica, mais pas la fonction de Mertens, mais elle peut être définie par cette commande :

Mertens[x_] := Plus @@ MoebiusMu[Range[1, x]]

Représentations intégrales

En utilisant le Produit eulérien, on trouve que

1 ––––– ζ(s)

=

Π p

(1-p - s ) =

∞ Σ n = 1

μ (n)n - s

où ζ(s) est la fonction zeta de Riemann et le produit pris sur les nombres premiers. Alors, en utilisant cette Série de Dirichlet avec la Formule de Perron, on obtient :

1 ––––––– 2 π i

∮

C

ds

x s –––––––– s ζ(s)

= M (x)

où "C" est une Courbe fermée encerclant toutes les racines de ζ(s) .

Inversement, on a la transformée de Mellin

1 ––––– ζ(s)

= s ∫

∞   1

M (x) ––––––– x s + 1

dx

qui reste valable pour Re(s)>1 .

Une bonne évaluation, au moins asymptotiquement, serait d'obtenir, par la méthode de descente par gradient, une inégalité :

∮

C

dsF(s)e st~ M (e t )

Calcul

La fonction de Mertens a été calculée pour un intervalle de plus en plus grand de n.

Personne	Année	Limite
Mertens	1897	104
von Sterneck	1897	1,5 x 105
von Sterneck	1901	5 x 105
von Sterneck	1912	5 x 106
Neubauer	1963	108
Cohen et Dress	1979	7,8 x 109
Dress	1993	1012
Lioen et van der Lune	1994	1013
Kotnik et van der Lune	2003	1014

Références

• Pintz J, An effective disproof of the Mertens conjecture, Astérisque 147-148, 325-333 and 346 (1987).
• Odlyzko AM, te Riele HJJ, Disproof of the Mertens conjecture, J. reine angew. Math. 357, 138-160 (1985).

Liens externes

• (en) Les valeurs de la fonction de Mertens pour les 50 premiers n sont données par SIDN A002321
• (en) Les valeurs de la fonction de Mertens pour les 2 500 premiers n sont données par PrimeFan's Mertens Values Page
• (en) La page mathworld sur la conjecture de Mertens Mathworld's Mertens Conjecture Page

et son lien à la conjecture de Riemann.